В одном из прошлых постов была задача про доходность портфеля. Она была основана на реальных данных. В этой заметке — разбор (после того, как вспомним условие задачи). Кроме того, в конце заметки — дополнительный смысл такого разбора, который периодически ускользает от начинающих инвесторов.
Условие задачи
Дано. Инвестор Илья Ш. вкладывает деньги в два типа инвестиций. В инструменты с умеренным риском и умеренной ожидаемой доходностью, назовём их «A», и в инвестиции с высоким риском и высокой ожидаемой доходностью, назовём их «I». То есть портфель состоит из инвестиций типа «A» и инвестиций типа «I».
Предположим, нам стало известно, что доходность Ильи Ш. по инвестициям типа «A» составила 20% годовых, а общая доходность портфеля составила 40% годовых.
1. Если предположить, что инвестиции типа «A» и типа «I» были в портфеле в равных долях, то какова была доходность инвестиций типа «I» в портфеле Ильи Ш.?
2. Предположим, что Илья Ш. сообщил нам дополнительно, что доходность инвестиций типа «I» составила в его портфеле 120% годовых. Значит, в каких пропорциях в его портфеле были инвестиции обоих типов? Сколько процентов в портфеле было отведено на инвестиции типа «A», а сколько — на инвестиции типа «I»?
3. Какова была бы доходность портфеля Ильи Ш., если бы он (учитывая данные из пункта 2) разложил деньги по инвестициям типа «A» и «I» поровну (по 50% портфеля)?
Решение
Пункт 1. В портфеле два типа активов, они представлены поровну. Суммарно портфель дал 40% годовых. Первый актив вырос на 20%. Сколько доходности дал второй актив?
Важно понимать, что доходность портфеля в процентах — это не сумма доходностей всех его активов в процентах. Это среднее значение доходности среди всех компонент портфеля. Т.е. если в портфеле два актива в равных долях, то Доходность портфеля = (Доходность инвестиций «A» + Доходность инвестиций «I»)/2.
Подставляем известные числа: 40% = (20% + Доходность инвестиций «I»)/2
Отсюда находим, что Доходность инвестиций «I» = 60% годовых. Итак, если в портфеле есть два типа инвестиций, они в равных пропорциях, то доходность портфеля — это среднее арифметическое от доходностей компонент портфеля.
Пункт 2. Здесь нам стало известно, что Доходность инвестиций «I» = 120% годовых. Однако теперь нам не говорят, что в портфеле оба типа инвестиций («A» и «I») представлены в равных долях. Наоборот, нужно найти пропорции этих инвестиций в портфеле инвестора Ильи Ш.
Выпишем известные данные. Доходность «A»=20%, Доходность «I»=120%, Доходность портфеля=40%.
Как вычисляется доходность портфеля, если мы вкладываем в два типа инвестиций, однако инвестиции не равномерно распределены по двум вложениям, а распределены в разных долях?
Обозначим неизвестную переменную — долю инвестиций в «A» — за X (Х может быть от 0 до 1). Тогда в «I» было про инвестировано 1-Х (оставшаяся доля портфеля).
Доходность портфеля — это в данном случае не просто среднее от двух доходностей — это средневзвешенное (поскольку в разные активы вложены разные доли портфеля). То есть:
Доходность портфеля = Доля портфеля в инвестиции «A» * Доходность «A» + Доля портфеля в «I» * Доходность «I».
Мы уже условились, что Доля портфеля в «A» — это X, а Доля портфеля в «I» — это «I». Подставляем с учетом известных чисел:
40% = X * 20% + (1-X) * 120%
40% = X * 20% + 120% — X * 120%
X = 80%
То есть Илья Ш. вложил 80% портфеля в инвестиции «A», а 20% портфеля — в инвестиции «I». На всякий случай проверим: 80% * 20% + 20% * 120 % = +40%. Сходится.
Пункт 3. Теперь вопрос в том, что было бы, если бы Илья Ш. вложил бы поровну деньги инвестиции «A» и «I». Напомню, что доходность «A»=20%, Доходность «I»=120%.
Здесь всё просто — при равных долях нам нужно просто взять среднее арифметическое (как в пункте 1) от двух доходностей.
Доходность портфеля = 50% (доля в «A») * 20% (доходность «A») + 50% (доля в «I») * 120% (доходность «I») = +70% годовых. Именно такую доходность получил бы Илья Ш., если бы он положил в оба типа инвестиций средства не в пропорции 80% на 20%, а в равных пропорциях.
Ответы
- 60% годовых
- 80% портфеля в «A» и 20% портфеля в «I»
- 70% годовых, если бы вложился поровну в оба типа инвестиций
Примечание
Как я и говорил, эта задача основана на реальной ситуации. Ранее вы уже видели в блоге отзыв Ильи Ш. Уже после просмотра отзыва я спросил у Ильи, сколько составила доходность инвестиций типа «I» (в видео говорится только про 20% по «A» и 40% годовых по портфелю — как раз как в условии первого пункта), он сказал, что это было около 120% годовых. Так родились еще и второй и третий пункты задачи. Надеюсь, разбор таких простых математических действий был для вас полезен.